Αγαπητή Μαίριλυν,
ο πατέρας μου άκουσε τη παρακάτω ιστορία στο ραδιόφωνο. Σε ένα πανεπιστήμιο δύο φοιτητές έπαιρναν άριστα στη χημεία σε όλη τη διάρκεια του εξαμήνου. Όμως το βράδυ πριν τη τελική εξέταση πήγαν να διασκεδάσουν σε μια άλλη πολιτεία κι όταν επέστρεψαν στο πανεπιστήμιο η εξέταση είχε τελειώσει. Δικαιολογήθηκαν στον καθηγητή τους ότι τους έπιασε λάστιχο, και του ζήτησαν να γίνει μια ειδική εξέταση γι΄ αυτούς.
Ο καθηγητής συμφώνησε, ετοίμασε ένα διαγώνισμα και τους έστειλε να το γράψουν σε δύο διαφορετικές αίθουσες, το δε διαγώνισμα είχε μόνο δύο ερωτήσεις. Η πρώτη ερώτηση έπιανε 5 μονάδες (στις 100) ενώ η δεύτερη, που έπιανε 95 μονάδες, είχε το εξής ερώτημα: “Ποιο λάστιχο έσκασε;”
Ποια η πιθανότητα οι δύο φοιτητές να δώσουν την ίδια απάντηση; Ο πατέρας μου κι εγώ πιστεύουμε ότι είναι 1 στις 16. Είναι αυτό σωστό;
Από τη στήλη “Ask Marilyn”, τεύχος Μαρτίου 1996
Την Marilyn Savant και τη στήλη της την έχουμε συναντήσει πάλι στο άρθρο του προβλήματος του Monty Haal. Αν δεν το έχετε διαβάσει ρίξτε του μια ματιά, ακόμη κι αν γνωρίζετε το πρόβλημα ή/και τη λύση του. Εδώ θα ασχοληθούμε με το παραπάνω πρόβλημα και θα εξετάσουμε τη λύση του/ης συντάκτη/ας της επιστολής.
Διερεύνηση
Η απλή διερεύνηση – και λύση – του προβλήματος προκύπτει από τη λεγόμενη πολλαπλασιαστική αρχή των πιθανοτήτων. Η πιθανότητα να γράψει το σωστό λάστιχο ο 1ος φοιτητής είναι 1/4, ίδια με τη πιθανότητα να το γράψει και ο 2ος φοιτητής. Έτσι η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με 1/4×1/4=1/16.
Ένας δεύτερος τρόπος προσέγγισης είναι ο εξής. Θα ονομάσουμε Α, Β, Γ κ΄ Δ τα τέσσερα λάστιχα του αυτοκινήτου. Ο κάθε φοιτητής θα επιλέξει μια απάντηση, έτσι ως πρώτο βήμα είναι να βρούμε το σύνολο των δυνατών απαντήσεων. Ή όπως λέμε, να βρούμε το δειγματικό χώρο του προβλήματος.
Η εύρεση του δειγματικού χώρου γίνεται με τον ίδιο τρόπο που μελετάμε τη ρίψη δύο κερμάτων ή τη ρίψη δύο ζαριών. Στη περίπτωση των κερμάτων με ενδείξεις κορώνα (Κ) και γράμματα (Γ), τα πιθανά αποτελέσματα είναι ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΚΓ.
Παρένθεση για όσους δεν είναι εξοικειωμένοι με τη παραπάνω γραφή: ο συμβολισμός ΚΚ σημαίνει ότι το πρώτο από τα δύο κέρματα έρχεται με την ένδειξη Κ και το 2ο επίσης με την ένδειξη Κ. Ο συμβολισμός ΚΓ σημαίνει ότι το 1ο κέρμα φέρνει Κ και το 2ο Γ κ.ο.κ., και κλείνει η παρένθεση.
Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι το σύνολο των δυνατών απαντήσεων στη περίπτωση των τεσσάρων λάστιχων μπορούν να προκύψουν από τον παρακάτω πίνακα:
Ο οποίος δίνει 16 συνολικά δυνατές απαντήσεις. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης είναι ίσος με 16.
Λύση
Μόνο ένα από τα τέσσερα λάστιχα του αυτοκινήτου έχει σκάσει, μία μόνο από τις παραπάνω απαντήσεις είναι σωστή. Για παράδειγμα αν το σκασμένο λάστιχο είναι το Β, όλες οι απαντήσεις εκτός από την ΒΒ είναι λανθασμένες. Έχουμε 16 πιθανές απαντήσεις με μια μόνο σωστή, έτσι η πιθανότητα να τη πετύχουν οι δύο φοιτητές, άρα και να περάσουν στο διαγώνισμα, είναι 1 στις 16.
Αυτή (ή κάτι σαν κι αυτή) πρέπει να ήταν οι σκέψη των συντακτών της επιστολής, εξ΄ ου και η απάντηση που έδωσαν. Το πρόβλημα αυτής της απάντησης;
Βρίσκεται στο ότι όλη της η ανάλυση είναι λανθασμένη, η δε ζητούμενη πιθανότητα δεν είναι τελικά 1/16. Που βρίσκεται το λάθος της και ποια είναι η σωστή απάντηση;
Περιμένω τα σχόλιά σας γι΄ αυτό.
Η σειρα δεν παιζει ρολο γιατι δεν υπαρχει πρωτος και δευτερος φοιτητης. Αρα ΑΒ και ΒΑ ειναι το ιδιο ζευγαρι κλπ. Τελικα τα διαφορετικα ζευγαρια ειναι 10 (ΑΑ, ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΒΒ, ΒΓ, ΒΔ, ΓΓ, ΓΔ, ΔΔ) και η πιθανοτητα 1/10
Καλησπέρα,
Ο συλλογισμός που αναπτύχθηκε δεν είναι σωστός καθώς δεν αναζητούμε το σωστό λάστιχο αλλά την κοινή απάντηση. Ο καθηγητής δεν έχει την δυνατότητα να ελέγξει το λάστιχο (κάτι που θα σήμαινε ότι μοναδική σωστή απάντηση είναι το ΒΒ πχ – οπότε 1/16) αλλά την κοινή απάντηση. Που σημαίνει ότι τα ενδεχόμενα ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ, ΔΔ δηλαδή η κοινή απάντηση, με πιθανότητα 4/16 θα θεωρηθεί σωστή απάντηση από τον καθηγητή.
Δεν μπορώ να μην εκφράσω τον θαυμασμό μου προς όσους επιμένουν να εξακολουθούν να σκέφτονται, να αναρωτιούνται και να αναζητούν λύσεις. Είναι κάτι που φέρνει ένα ψήγμα ελπίδας και που αν γινόταν σε μεγαλύτερη κλίμακα, ο κόσμος μας θα ήταν διαφορετικός - οπότε ένα μεγάλο μπράβο προς όλους όσοι μπήκαν στη διαδικασία να κάνουν το κλικ, να διαβάσουν και να αναζητήσουν λύση.
Σε ό,τι αφορά την ίδια τη λύση του προβλήματος. Αν κι έχει δοθεί από περισσότερους από έναν - τόσο εδώ στα σχόλια όσο και στα social, σε κάποιες περιπτώσεις έχουν γίνει κάποιες παρανοήσεις, οπότε ας τις ξεκαθαρίσουμε.
Το πρόβλημα είναι σαφές. Αναζητά τη πιθανότητα "οι δύο φοιτητές να δώσουν την ίδια απάντηση", και όχι να δώσουν τη σωστή απάντηση - οτιδήποτε κι αν σημαίνει το "σωστή". Έτσι δεν μας αφορά αν πράγματι έσκασε το λάστιχο ή όχι, ή αν οι φοιτητές ψεύδονται ή όχι.
Η ανάλυση και η λύση που δόθηκε αφορά τη πιθανότητα να δοθεί ίδια απάντηση για ένα συγκεκριμένο λάστιχο, και όχι να δοθεί η ίδια απάντηση, έτσι οι λεγόμενες Ευνοϊκές Περιπτώσεις του πειράματος τύχης είναι οι ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ, ΔΔ με τη τελική πιθανότητα να είναι ίση με 4/16 ή 1/4.
Στη περίπτωση που οι φοιτητές ήταν 3, με παρόμοιο τρόπο θα βρίσκαμε ότι ο δειγματικός χώρος αποτελείται από 43=64 στοιχεία με τις ευνοϊκές περιπτώσεις να είναι πάλι τέσσερις, οι ΑΑΑ, ΒΒΒ, ΓΓΓ κ΄ ΔΔΔ και τη πιθανότητα ίση με 4/64=1/16, ενώ γενικότερα για ν φοιτητές η πιθανότητα θα ήταν ίση με 1/4ν-1.
Τέλος, είναι απαραίτητο να αναφερθεί πως η διάταξη των απαντήσεων έχει σημασία, τα δε ενδεχόμενα ΑΒ κ΄ ΒΑ είναι διακριτά μεταξύ τους - κάτι που μπορεί εύκολα κάποιος να το κατανοήσει και είναι αρκετά πιο ξεκάθαρο από πχ τη περίπτωση της ρίψης δύο κερμάτων. Οι δύο φοιτητές είναι διαφορετικά πρόσωπα, το να απαντήσει ο 1ος ότι έσκασε το λάστιχο Α και ο 2ος ότι έσκασε το Β δίνει διαφορετικό σύνολο απαντήσεων από όταν ο 1ος απαντά Β και ο 2ος Α.
Μπράβο σε όλους…η μαθηματική σκέψη έχει σημασία!!!!εγώ λέω ότι οι φοιτητές κόπηκαν αν ήταν ψέμα το λάστιχο
Δεν είναι και πολύ ρεαλιστικό το πρόβλημα.
Ο καθηγητής παραείναι επιεικής.
1. Ακόμα και αν έλεγαν αλήθεια για το λάστιχο, θα μπορούσαν να είναι αδιάβαστοι.
2. Η πιθανότητα 25% να περάσουν με το ψέμα παραείναι μεγάλη.
Οι καθηγητές που γνώρισα εγώ θα θεωρούσαν ότι μου έκαναν χάρη δίνοντάς μου μια δεύτερη ευκαιρία… το άλλο εξάμηνο!