Η άσκηση με τη σκάλα του βιβλίου της γ΄ λυκείου – το παράδοξο της κυλιόμενης σκάλας

Ο πιο πρόσφορος τρόπος για να εξηγήσεις σε κάποιον σε ποια άσκηση αναφέρεσαι είναι να πεις “αυτή με τη σκάλα στους ρυθμούς μεταβολής”. Έτσι έχεις το πρώτο επίπεδο συνεννόησης. Απαραίτητη προϋπόθεση βέβαια είναι αυτός ο κάποιος να διδάσκει (ή να διδάσκεται) μαθηματικά γ΄ λυκείου.

Για τους υπόλοιπους θα κάνω τις απαραίτητες διευκρινήσεις. Και προτείνω να συνεχίσουν να διαβάζουν γιατί υπάρχει κάτι ενδιαφέρον.

Θα ασχοληθούμε με μια άσκηση του σχολικού βιβλίου της γ΄ λυκείου. Η άσκηση αυτή έχει κάνει διεθνή καριέρα δημιουργώντας το περιβόητο “παράδοξο της κυλιόμενης σκάλας” (ή “παράδοξο της ολισθαίνουσας σκάλας”). Θα δώσουμε πιο κάτω την εκφώνηση αλλά όχι τα ζητούμενά της – αυτά δεν μας ενδιαφέρουν. Με λίγα όμως λόγια στην άσκηση έχουμε μια σκάλα στηριγμένη στο τοίχο και το κάτω της άκρο γλιστράει στο πάτωμα.

Το ενδιαφέρον βρίσκεται στο πάνω άκρο της που αντίστοιχα γλιστράει με τη σειρά του στο τοίχο. Μέχρι να φτάσει στο πάτωμα, η ταχύτητά του έχει γίνει άπειρη.

Η άσκηση

Μας ενδιαφέρει η ταχύτητα κίνησης του σημείου Α του σχήματος ή διαφορετικά, η παράσταση y΄(t). Οι περισσότεροι απ΄ όσους διαβάζετε γνωρίζετε και τη λύση, οι υπόλοιποι μπορείτε να προσπεράσετε τα μαθηματικά. Στα πολύ γρήγορα όμως:

Το σημείο Β απομακρύνεται από το Ο με σταθερό ρυθμό ίσο με 0,1, έχουμε δηλ. x΄(t)=0,1 απ΄ όπου με τη συνθήκη x(0)=0 παίρνουμε

x(t)=t/10.

Λόγω του ότι το μήκος της σκάλας είναι 3m έχουμε ότι x∈[0, 3] και από τη παραπάνω σχέση, παίρνουμε ότι t∈[0,30]. Στο διάστημα (0, 30) έχουμε

x²(t) + y²(t) = 9

με y>0, απ΄ όπου με πράξεις παίρνουμε για τη θέση y και η ταχύτητα y΄ του σημείου Α τις σχέσεις

με t∈(0, 30). Εύκολα βλέπουμε ότι πλησιάζοντας τον χρόνο προς τα 30 δευτερόλεπτα, η ταχύτητα της σκάλας γίνεται άπειρη.

Το πρόβλημα

“Τα μαθηματικά σας είναι σωστά αλλά η φυσική σας επαχθής”^[1], που θα έλεγε και μια ψυχή. Οι πράξεις μας ήταν απολύτως σωστές, το πρόβλημα όμως βρίσκεται στο ότι στη πράξη, η ταχύτητα δεν γίνεται άπειρη.

Άπειρη ταχύτητα κι επομένως άπειρη ορμή, σημαίνουν πως κάθε φορά που μια σκάλα θα γλιστρούσε σε ένα σπίτι τότε η σκάλα, το σπίτι καθώς και η πόλη στην οποία λαμβάνει χώρα το γεγονός, θα εξαφανίζονταν στιγμιαία σε μια έκρηξη ενέργειας – κάτι που θα το αντιλαμβανόμασταν κάθε φορά που συνέβαινε. Κι επειδή οι σκάλες πέφτουν αλλά οι πόλεις δεν εκρηγνύονται, βρισκόμαστε μπροστά σε ένα παράδοξο.

Στη διεθνή βιβλιογραφία, αυτό έχει καταγραφεί ως “το παράδοξο της κυλιόμενης σκάλας (The Falling Ladder Paradox)”. Αλλά για όσο τουλάχιστον προσωπικά κοίταξα, η συζήτηση γι΄ αυτό δεν έχει πάει και πολύ μακριά.

Η συζήτηση

Στην Ελλάδα η άσκηση έχει αποτελέσει κατά καιρούς θέμα είτε προς συζήτηση σε forums είτε για αρθρογραφία. Χωρίς να έχω κάνει ιδιαίτερο ψάξιμο, δεν έχω δει κάποια άρση του παραδόξου. Για παράδειγμα σε ένα μαθηματικό forum η συζήτηση μεταξύ μαθηματικών είχε κλείσει με τον εντελώς θεϊκό τρόπο “αν ρωτήσεις τους φυσικούς θα σου πουν ότι η ταχύτητα δεν γίνεται άπειρη”. Όπως φαίνεται όλοι οι συμμετέχοντες μαθηματικοί δέχτηκαν σιωπηρά ότι είναι ανίκανοι να προσφέρουν στη συζήτηση και πως μόνο οι φυσικοί είναι κατάλληλοι να δώσουν απαντήσεις. Επιπλέον κανείς από τους διαχειριστές δεν ντράπηκε από το επίπεδο της επιστημονικής συζήτησης που εμφανίζεται στο φόρουμ τους, και τελικά η συζήτηση είναι ακόμη εκεί – δεν θα τους προσβάλω παραθέτοντας το λινκ, μπορείτε όμως να το αναζητήσετε μόνοι σας.

Αλλά και στο εξωτερικό τα πράγματα δεν πηγαίνουν καλύτερα. Στο κύριο έγγραφο που κυκλοφορεί εμφανίζεται κάποια λύση (για την ακρίβεια μια ολόσωστη λύση) από τη πλευρά της φυσικής, η οποία όμως θέλει τη τελευταία στιγμή η σκάλα να αφήνει το τοίχο, παρακάμπτοντας έτσι το παράδοξο. Έτσι στο ερώτημα “λοιπόν, τι μπορούμε να πούμε;” που θέτουν οι συντάκτες στον εαυτό τους, απαντούν “να βγάλουμε επιτέλους την αναθεματισμένη άσκηση από τα βιβλία” – κάτι που προσωπικά δεν με βρίσκει σύμφωνο, αλλά και ποιος είμαι εγώ που θα διαφωνήσω με το τι θα κάνει ο καθένας με τα βιβλία του.

Εμάς όμως δεν μας αρέσουν τα παράδοξα παρά μόνο η διαδικασία επίλυσής τους, έτσι λέμε να προχωρήσουμε σιγά σιγά στην άρση του δικού μας παραδόξου.

Τρεις λύσεις στο παράδοξο της κυλιόμενης σκάλας

Η επιπλέον συνθήκη που θα χρησιμοποιήσουμε στο εξής, είναι πως με κάποιο τρόπο – πχ με έναν δρομέα ενσωματωμένο στο τοίχο – το άνω τμήμα της σκάλας δεν μπορεί να απομακρυνθεί από αυτόν.

Αναζητούμε λόγους για τους οποίους η ταχύτητα της σκάλας δεν είναι άπειρη, παρά το ότι τα μαθηματικά μας λένε το αντίθετο. Θα μπορούμε να πούμε ότι έχουμε πετύχει άρση του παραδόξου, μόνο όταν έχουμε βρει επαρκής, επιστημονικούς λόγους για τους οποίους συμβαίνει κάτι τέτοιο.

Με απλά λόγια, θα πρέπει ούτε λίγο ούτε πολύ να αποδείξουμε ότι τα ολόσωστα μαθηματικά μας είναι λανθασμένα.

Αν κάτι τέτοιο φαίνεται πολύ, επειδή εμάς μόνο το πολύ μας αρέσει, θα το κάνουμε. Θα δώσουμε τρεις απαντήσεις ξεκινώντας από τη λιγότερο σημαντική και καταλήγοντας στη σημαντικότερη. Αλλά πριν από αυτό θα κάνουμε μερικούς υπολογισμούς.

Κάποια αριθμητικά αποτελέσματα

Η ταχύτητα με την οποία κινείται το σημείο Α της σκάλας προς το έδαφος είναι επιταχυνόμενη, ο ρυθμός με τον οποίο όμως αυξάνεται είναι μικρός. Κάνοντας τις πράξεις μπορούμε να δούμε ότι μετά από πχ 15 δευτερόλεπτα η ταχύτητα πτώσης δεν είναι μεγαλύτερη από 0,06m/s, ενώ στα 29s είναι ίση μόλις με 0,3m/s.

Ο ρυθμός αύξησης θα γίνει τελικά τρομακτικός, οι τιμές όμως εξακολουθούν να μένουν χαμηλές. Στα 29,9 s έχουμε ταχύτητα ακόμη 1,22m/s, σε καμία περίπτωση δηλαδή μεγάλη. Συνεχίζοντας βλέπουμε ότι υ(29,99)=3,87, υ(29,999)=12,25 ενώ ταχύτητα με την οποία αρχίζει να κινδυνεύει η ακεραιότητα της σκάλας αρχίζουμε να έχουμε μόλις κοντά στο ένα δεκάκις χιλιοστό του δευτερολέπτου πριν αυτή φτάσει στο έδαφος, όπου τη μετράμε πλέον ίση με 38,73m/s.

Με αυτά κατά νου, μπορούμε να πάρουμε κάποιες απαντήσεις στο γιατί τελικά η ταχύτητα δεν γίνεται άπειρη.

Λύση 3η – και προφανής.

Το μαθηματικό μας σύμπαν είναι τέλειο, το πάτωμά μας όμως όχι. Η τριβή που δημιουργείται κατά τη κύλιση της σκάλας στο πάτωμα (άρα και στο τοίχο) είναι ικανή να επιβραδύνει, ή τουλάχιστον να εμποδίσει την επιτάχυνσή της.

Αν λοιπόν το φαινομενικά λείο πλακάκι του σαλονιού μας δημιουργεί λόγω της τριβής ένα “τικ” αναπήδησης της σκάλας, το οποίο να διαρκεί ένα χιλιοστό του δευτερολέπτου, η μέγιστη ταχύτητα που θα μπορεί να πάρει η σκάλα θα είναι μικρότερη των 12,25m/s (δείτε τους παραπάνω αριθμούς). Και βέβαια δεν έχουμε ένα μόνο τέτοιο “τικ”, ενώ σχεδόν σίγουρα η διάρκειά του είναι μεγαλύτερη των 0,001 s.

Οκ, ναι. Δηλαδή…

Ναι, η ταχύτητα πρακτικά δεν γίνεται άπειρη. Κάτι μας είπες, το ξέρουμε ότι δεν συμβαίνουν πυρηνικές εκρήξεις όποτε μας γλιστράει η σκάλα. Αλλά σε ένα πραγματικά λείο πάτωμα και τοίχο, το καλύτερο που έχουμε να πούμε είναι πως η ταχύτητα τελικά θα γινόταν… άπειρη;

Ε βλακείες τώρα. Κάτι καλύτερο έχουμε;

Λύση 2η

Τα μαθηματικά είναι η αποκορύφωση της ανθρώπινης νόησης, το τελειότερο νοητικό εργαλείο που έχουμε δημιουργήσει. Ειδικά ο απειροστικός λογισμός είναι τόσο εκπληκτική κατασκευή που δεν έχουμε αντισταθεί στο πειρασμό να τη χρησιμοποιήσουμε για τη περιγραφή της πραγματικότητας.

Κάτι που από τη φύση του είναι εντελώς λάθος.

Έχουμε ένα εργαλείο που λειτουργεί σε συνεχείς χώρους και προσπαθούμε να το χρησιμοποιήσουμε για τη περιγραφή μιας μη συνεχούς πραγματικότητας. Η κίνηση του σημείου Α είναι επιταχυνόμενη, που μαθηματικά σημαίνει πως για οποιονδήποτε αριθμό ε>0, σε κάθε χρονικό διάστημα [t, t+ε] η ταχύτητα του Α στο δεξιό του άκρο θα είναι μεγαλύτερη από αυτή του αριστερού άκρου του διαστήματος.

Κάτι που στη φύση όμως δεν λειτουργεί. Θυμίζω πως στη φύση υπάρχει το όριο του μήκους plank, που σημαίνει πως σε κάθε διάστημα της μορφής [α, α+10^-35) η ταχύτητά του παραμένει η ίδια. Η ταχύτητα του Α δεν θα επιταχύνεται προς το άπειρο όσο ο χρόνος πλησιάζει τα 30 s, τη δε μέγιστη ταχύτητά της θα τη πάρει 10^-35 μέτρα πριν φτάσει στο πάτωμα.

Η οποία προφανώς και δεν θα είναι άπειρη.

Παρεμπιπτόντως. Τα δεκαδικά ψηφία των συνηθισμένων εργαλείων που διαθέτει ένας υπολογιστής δεν επαρκούν για να υπολογίσουμε τη ταχύτητα αυτή. Υποψιάζομαι ότι θα ήταν αρκούντως μεγάλη για μια έκρηξη μέσης εμβέλειας και θα έφτιαχνα ένα πρόγραμμα σε python, η οποία μπορεί να κάνει τέτοιους υπολογισμούς, μόνο και μόνο για να την υπολογίσω.

Αν δεν υπήρχε ένα ακόμη σοβαρό θέμα. Το ότι οι πράξεις μας ως τώρα ήταν μεν σωστές, η ταχύτητα όμως που υπολογίσαμε είναι λανθασμένη.

Λύση 1η – και οριστική

Τα αποτελέσματά μας είναι απρόβλεπτα και θα ήταν σωστά σε ένα Νευτώνιο σύμπαν, ζούμε όμως σε ένα σχετικιστικό χωρόχρονο. Από κάποιες μικρές τάξεις μεγέθους πριν τα 30 δευτερόλεπτα κι έπειτα οι ταχύτητες γίνονται τόσο μεγάλες που στο παιχνίδι μπαίνει η σχετικότητα – για παράδειγμα μόλις 10 τρισεκατομμυριοστά του δευτερολέπτου πριν τα 30 δευτερόλεπτα η ταχύτητα έχει φτάσει στο 0,4c. Ήδη από το σημείο αυτό τα φαινόμενα συστολής μήκους και διαστολής χρόνου είναι έντονα, με αποτέλεσμα οι μετρήσεις του κάθε παρατηρητή να είναι διαφορετικές.

Στη πράξη, η παράσταση y΄(t) για τη ταχύτητα που υπολογίσαμε παραπάνω:

• δείχνει μόνο τη ταχύτητα που βιώνει ο παρατηρητής που βρίσκεται πάνω στο σημείο Α. Η οποία
• είναι διαφορετική από τη ταχύτητα που μετράμε εμείς ως αδρανειακοί παρατηρητές.

Ας δούμε τι βλέπει ο καθένας από τη πλευρά του.

Παρατηρητής σημείου Α

Ο “Αγάπη μου συρρίκνωσα τα παιδιά” έχει φτιάξει ειδικά για εμάς ένα (πρακτικά) 1d διαστημόπλοιο το οποίο ταξιδεύει στο άκρο Α της σκάλας και κινείται προς το πάτωμα. Η ταχύτητα που βιώνει το πλήρωμά μας από το σημείο Α είναι πράγματι αυτή που περιγράφει η εξίσωση υ(t)=y'(t) που δώσαμε παραπάνω, και πράγματι θα γίνει άπειρη μετά από 30 δευτερόλεπτα – σε δικό μας χρόνο.

Μόνο που αυτό το χρόνο οι παρατηρητές Α δεν θα τον βιώσουν να περνάει ποτέ.

Αυτό που συμβαίνει σε αυτές τις ταχύτητες είναι να διαστέλλεται ο χρόνος τους σε σχέση με τον δικό μας και ταυτόχρονα να συστέλλεται το μήκος του διαστημόπλοιού τους. Πρακτικά, θα βλέπουν το σύμπαν τριγύρω τους να καμπυλώνεται, να σκευρώνει και τα πάντα μπροστά τους να γίνονται όλο και μεγαλύτερα από αυτούς – άρα και η απόσταση που τους χωρίζει από το πάτωμα. Όσο μεγαλώνει η ταχύτητά τους θα βλέπουν ότι έχουν να διασχίσουν μια όλο και μεγαλύτερη απόσταση που δεν θα τη φτάσουν ποτέ. Στην ουσία και σε τέτοιες ταχύτητες, έχουν αποσυνδεθεί από το υπόλοιπο σύμπαν.

Και τι γίνεται με τη ταχύτητά τους; Αφού αυτή μεγαλώνει συνεχώς, κάποια στιγμή δεν θα συμβεί το αδύνατο, δεν θα γίνει μεγαλύτερη από τη ταχύτητα του φωτός c;

Η απάντηση είναι η εξής απλή: Ναι αλλά όχι.

Παρά τη συστολή μήκους που έχει συμβεί στο διαστημόπλοιο αλλά και στους ίδιους τους παρατηρητές που βρίσκονται μέσα σε αυτό και κινούνται στο σημείο Α της σκάλας, το μήκος 1m εξακολουθεί να είναι 1m γι΄ αυτούς. Απλά αυτό που τους συμβαίνει είναι να μεγαλώνουν οι αποστάσεις στο υπόλοιπο σύμπαν τόσο, ώστε κάποια στιγμή να βρίσκονται έξω από τον κώνο φωτός του οτιδήποτε βρίσκεται έξω από το διαστημόπλοιο. Άρα, οι ίδιοι θα κινούνται με μια ταχύτητα η οποία θα μετράται σε σχέση… με τι;

Η έννοια της μέτρησης της ταχύτητας σταδιακά αλλοιώνει το νόημά της γι΄αυτούς, γιατί από ένα σημείο κι έπειτα στο σύμπαν τους δεν υπάρχει κάτι που να μπορούν να μετρηθούν σε σχέση με αυτό. Απλά, δεν έχει νόημα η μέτρηση της ταχύτητας σε ένα άδειο χώρο.

(διαβάστε σχετικά το άρθρο “ταξίδι στο α του Κενταύρου” και ειδικότερα “Ταξίδι στην άκρη του σύμπαντος“. Επίσης, στο 2ο άρθρο της σειράς, το “ταξίδι στο γαλαξία” διαβάστε γιατί κατά το ταξίδι τους προς το πάτωμα τα μέλη του πληρώματος αντί για το πάτωμα, θα βλέπουν μπροστά τους τη μικροκυματική ακτινοβολία υποβάθρου, όπως ήταν αυτή στις αρχές της δημιουργίας του σύμπαντος)

Και τι γίνεται όμως με εμάς;

Αδρανειακός παρατηρητής

Εμείς από τη μεριά μας παραμένουμε στο σύμπαν μας βλέποντας τη σκάλα να πέφτει και να μας γδέρνει το πάτωμα. Εξετάζουμε όμως τη περίπτωση του εντελώς λείου πατώματος οπότε το μόνο που μας απασχολεί πλέον είναι η ταχύτητα του σημείου Α.

Αυτό που βλέπουμε λοιπόν από τη μεριά μας είναι ότι κοντά στο t=30 το διαστημόπλοιο και όσοι βρίσκονται μέσα σε αυτό:

• Να μικραίνει συνεχώς σε μήκος.
• Να κινούνται όλο και πιο αργά: ο χρόνος τους διαστέλλεται, και στο t->30 πρακτικά τα ρολόγια τους μοιάζουν να σταματούν. Και αυτό που αφορά το θέμα μας:
• Το σημείο Α να συνεχίζει να πλησιάζει προς το πάτωμα, με το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητάς του όμως να μειώνεται συνεχώς!

Για εμάς, η σχέση που μετρά τη ταχύτητα του σημείου Α δεν είναι η υ(t) που είδαμε παραπάνω. Η ειδική θεωρία της σχετικότητας θα μας δώσει τη ταχύτητα που μετράμε η οποία, αν οι νόμοι που ξέρουμε λειτουργούν, δεν θα μπορεί να γίνει ποτέ μεγαλύτερη του φωτός.

Ο υπολογισμός της σωστής ταχύτητας

Λοιπόν, δεν έχω βρει κάπου έναν τύπο που να δίνει τη σχετικιστική μεταβολή για τυχαία επιταχυνόμενη κίνηση, έτσι αυτοσχεδίασα. Η μόνη εργασία που έχω υπ΄ όψιν μου αφορούσε την κίνηση με σταθερή επιτάχυνση, έτσι τη δουλειά έπρεπε να τη κάνω μόνος μου.

Να πω προκαταβολικά ότι σε καμία περίπτωση δεν έχω κάνει πλήρη απόδειξη, έτσι αν κάποιος φοιτητής έχει ξεμείνει από ιδέες για το μεταπτυχιακό του, μόλις βρήκε θέμα. Η απόδειξή μου ξεκίνησε με την εύλογη μεν, αυθαίρετη δε υπόθεση ότι η ταχύτητα μεταβάλλεται γραμμικά κατά παράγοντα γ (ο συντελεστής Lorenz είναι αυτό), κάτι που ο Dr. Kogut στη περίπτωση της σταθερής επιτάχυνσης στην εργασία του παραπάνω συνδέσμου, το απέδειξε. Όπως και να έχει:

Ο τύπος που υπολόγισα για τη ταχύτητα που βλέπουμε να έχει το σημείο Α είναι ο παρακάτω:

όπου υ η ταχύτητα του κινούμενου συστήματος που υπολογίσαμε πριν, c η ταχύτητα του φωτός και υ₁ η ταχύτητα που βλέπουμε εμείς να κυλά το σημείο Α. Αντικαθιστώντας το υ=υ(t)=y΄(t) με αυτό που υπολογίσαμε παίρνουμε τον παρακάτω τύπο. Ο οποίος αν τελικά είναι ο σωστός, θα πρέπει όταν t->30 να δίνει ταχύτητα ίση με τη ταχύτητα του φωτός c.

Λοιπόν… Suprise!

Σημειώσεις

[1] Einstein προς G. Lemaitre, όταν ο τελευταίος έδειξε στον πρώτο ότι οι εξισώσεις του πρώτου οδηγούν σε ένα σύμπαν που ξεκίνησε από μια μοναδικότητα. Όπως καταλαβαίνετε, κάτι τέτοιο άρεσε μόνο στον τελευταίο αλλά καθόλου στον πρώτο, ο οποίος πρώτος αντέδρασε κατά του τελευταίου με τη παραπάνω φράση.
Αυτό και τίποτε άλλο. (up)

Υ.Γ. Την άσκηση αυτή δεν την είχα συμπεριλάβει ποτέ σε κάποιο από τα συγγράμματά μου. Έτσι, τις λίγες φορές που έτυχε να βρεθεί στο δρόμο μου δεν έτυχε να παρατηρήσω το παραπάνω παράδοξο. Μου το επισήμανε πρόσφατα ο μαθηματικός Θεόδωρος Κουρούκλης από το κανάλι “Αγάπη για τα μαθηματικά“. Η επισήμανσή του ήταν και η αφορμή για το άρθρο.

Θενκς Θόδωρε!