Είδαμε λοιπόν στο προηγούμενο άρθρο όλο το “παρασκήνιο” που αφορούσε το περιβόητο πρόβλημα του Monty Hall. Και είναι ώρα να προχωρήσουμε στο πρώτο, και λιγότερο σημαντικό θέμα του άρθρου.
Η λύση του προβλήματος του Monty Hall
Θα δούμε δύο θέματα σε ό,τι αφορά τη λύση. Το πρώτο έχει να κάνει με το να πάρουμε μια ιδέα γιατί η πιθανότητα δεν είναι ίση με 50%.
Που ήταν το λάθος;
Ας θυμηθούμε που βρισκόμαστε. Ο παίχτης έχει ήδη επιλέξει μια κουρτίνα, υποθέτουμε τη κουρτίνα με αριθμό 1. Πίσω από τις τρεις κουρτίνες υπάρχουν τα τρία δώρα. Η μια περιέχει Το Μεγάλο Δώρο, που έχουμε συμφωνήσει ότι είναι “το αυτοκίνητο”. Και οι άλλες δύο περιέχουν το όχι και τόσο μεγάλο δώρο, το οποίο πιθανόν να είναι Η Μεγάλη Εγκυκλοπαίδεια Ταξινόμησης Των Ειδών Τσουκνίδας σε Σέρβικη μετάφραση, και το οποίο συμφωνήσαμε εν συντομία να το λέμε “η κατσίκα”.
Κανείς δεν γνωρίζει τι περιέχει η κουρτίνα που επέλεξε ο παίχτης, εκτός από τον ίδιο τον παρουσιαστή. Επίσης, όλοι ξέρουν ότι πίσω από τις δύο άλλες κουρτίνες υπάρχει τουλάχιστον μια κατσίκα.
Ο παρουσιαστής είναι ο μόνος που γνωρίζει ποια από τις δύο κουρτίνες περιέχει τη κατσίκα.
Ο παρουσιαστής, ανοίγει τη κουρτίνα που πίσω της υπάρχει η μια κατσίκα.
Η ενέργεια αυτή του παρουσιαστή, η οποία βασίζεται στη γνώση που έχει και όχι στη τύχη, αναιρεί τη τυχαιότητα της διαδικασίας. Ο παίχτης πλέον έχει να διαλέξει ανάμεσα σε δύο επιλογές:
- Στο αν θα κρατήσει την αρχική κουρτίνα, η επιλογή της οποίας προέκυψε από τύχη. Και
- Στο αν θα επιλέξει τη δεύτερη εναπομείνουσα κουρτίνα, της οποίας η ύπαρξη δεν οφείλεται στη τύχη και προέκυψε λόγω της γνώσης του παρουσιαστή.
Το ότι η 3η κουρτίνα δεν άνοιξε στη τύχη κάνει το όλο πείραμα να μην είναι τυχαίο. Επομένως η πιθανότητες να είναι το δώρο σε κάποια από τις δύο πρώτες κουρτίνες, δεν είναι δυνατόν να είναι ίσες.
Παραλλαγή του προβλήματος.
Ίσως γίνει κατανοητή η διαφορά στην εξής παραλλαγή. Κι εδώ η διαδικασία είναι ακριβώς η ίδια, με τη διαφορά ότι ο παρουσιαστής ανοίγει μια από τις δύο εναπομείνουσες κουρτίνες στη τύχη. Σε αυτή τη περίπτωση:
- Είναι δυνατόν η κουρτίνα που θα ανοίξει να περιέχει το αυτοκίνητο, οπότε το παιχνίδι τελειώνει εκεί. Η δε πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι ίση με 1/3.
- Σε περίπτωση που δεν ανοίξει το αυτοκίνητο, τότε το αυτοκίνητο θα είναι σε κάποια από τις δύο κλειστές κουρτίνες, πάλι με πιθανότητα ίση με 1/3 για τη κάθε κουρτίνα.
Τότε, η πιθανότητα να επιλέξει ο παίχτης τη κουρτίνα με το αυτοκίνητο μεταξύ των δύο κουρτινών, θα είναι ίση με 50%, είτε αλλάξει κουρτίνα είτε διατηρήσει την αρχική του επιλογή.
Και αυτό που έχουμε να καταλάβουμε πριν τη συνέχεια, είναι πως η κανονική λειτουργία του παιχνιδιού είναι εντελώς διαφορετική από τη παραλλαγή αυτή, γι΄ αυτό και θα δώσει όπως είναι εύλογο, διαφορετική πιθανότητα.
Ποια είναι η πιθανότητα;
Η σωστή απάντηση στο ερώτημα της επιστολής και αυτή που έδωσε η Μαίριλυν στη στήλη, είναι πως αν ο παίχτης αλλάξει την αρχική του επιλογή, η πιθανότητα να κερδίσει είναι ίση με 2/3 ή με 66,6%.
Ας δούμε το γιατί.
Ο παίχτης έχει επιλέξει μια κουρτίνα, έστω τη κουρτίνα 1. Η πιθανότητα η κουρτίνα του να περιέχει το αυτοκίνητο είναι ίση με 1/3, επομένως
η πιθανότητα η κουρτίνα του να μη περιέχει το αυτοκίνητο είναι ίση με 2/3.
Οι δύο αυτές πιθανότητες δεν είναι δυνατόν να αλλάξουν στη πορεία του παιχνιδιού.
Έτσι, αν ο παίχτης διατηρήσει την αρχική του επιλογή, η πιθανότητα να κερδίσει το αυτοκίνητο είναι ακριβώς ίση με αυτή της αρχικής, δηλαδή με 1/3. Επομένως αν αλλάξει κερδίζει με πιθανότητα 66,6%.
Μια άλλη οπτική είναι η εξής. Αν αλλάξει επιλογή ο παίχτης, στη πραγματικότητα επιλέγει δύο κουρτίνες αντί της μιας που είχε αρχικά! – την 2 και την 3. Ο παρουσιαστής τώρα υποχρεωτικά θα ανοίξει μια από αυτές τις δύο κουρτίνες, και θα ανοίξει υποχρεωτικά τη κατσίκα. Με αυτό το τρόπο δείχνει που είναι το αυτοκίνητο, επιτρέποντας στο παίχτη να το επιλέξει με πιθανότητα 2/3.
Μα πως τα λέει ο Στέφανος!
Αν τώρα προτιμάμε αντί της ανάγνωσης, να τα δούμε πιο παραστατικά με προφορικό λόγο και εικόνα, ας αφήσουμε τον Στέφανο από τη Καθημερινή Φυσική να μας τα εξηγήσει σε αυτό το υπέροχο βιντεάκι του.
Γιατί οι επιστήμονες κάνουν λάθη;
Είναι αυτό που μένει να δούμε για να κλείσει κι αυτή η σειρά άρθρων. Με αφορμή το πρόβλημα του Monty Hall, θα δούμε γενικότερα γιατί πολλές φορές επώνυμοι ακαδημαϊκοί αλλά και επιστήμονες με την ευρύτερη έννοια του όρου, αφήνουν την επιστήμη τους να έχει το 2ο λόγο στην άποψή τους.
Ραντεβού στο επόμενο άρθρο!
