Το πρόβλημα του διαχωρισμού του τετραγώνου – σπαζοκεφαλιά

Δημοσιεύτηκε στη σελίδα ΜΑΘΗ-μαγικά. Αναδημοσιεύτηκε στην ομάδα “Τα μαθηματικά είναι πολύ κουλ” από τον μαθηματικό Θανάση Δρούγα. Δεν μιλάει για ζωή σε άλλους πλανήτες, δεν περιέχει κινήσεις με υπερφωτονικές ταχύτητες. Είναι όμως μια ελκυστική σπαζοκεφαλιά που ανάγεται σε ένα πανέμορφο μαθηματικό πρόβλημα.

Εδώ βλέπουμε το πρόβλημα. Θα δούμε επίσης μια από τις λύσεις του.

Το πρόβλημα

Χωρίζουμε ένα τετράγωνο σε 36 μικρότερα τετράγωνα. Το εμβαδόν του ενός από αυτά είναι λ≠1, ενώ όλων των άλλων είναι 1. Να βρεθεί το εμβαδόν του αρχικού τετραγώνου.

Το αρχικό πρόβλημα στις παραπάνω σελίδες έχει δοθεί ως ερώτημα πολλαπλής επιλογής, κάτι που δεν αλλάζει τη διαδικασία εύρεσης λύσης του. Θα ακολουθήσει η λύση του προβλήματος, και πριν από αυτή κάποιες σκέψεις πάνω σε αυτή.

Η προσέγγιση

Τα μαθηματικά είναι ένας κόσμος ιδεατός, ένας ωκεανός ιδεών και σκέψης. Η επεξεργασία της σκέψης είναι πιο εύκολη όταν υπάρχει η δυνατότητα να μετασχηματιστεί σε εικόνα και το πρόβλημα αυτό, από τη φύση του δίνει μια τέτοια δυνατότητα. Έτσι, η πρώτη προσέγγιση που έρχεται σε ένα τέτοιο πρόβλημα είναι γεωμετρική.

Σχετικά εύκολα μπορούμε να δούμε ότι ένας διαχωρισμός του τετραγώνου όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα δίνει μια λύση του προβλήματος:

Στη βάση του αρχικού τετραγώνου έχουμε 18 τετράγωνα με εμβαδόν ίσο με ένα. Άλλα 17 ίδια τετράγωνα βρίσκονται στη μια του πλευρά, καθώς και το τετράγωνο εμβαδού λ≠1. Εύκολα βλέπουμε ότι η πλευρά του αρχικού τετραγώνου είναι ίση με 18, άρα το εμβαδόν του είναι ίσο με

Ε=18²=324.

Σιγά όμως που θα είχαμε τελειώσει.

Η διερεύνηση

Στο αρχικό πρόβλημα πολλαπλής επιλογής το 324 ήταν μια από τις δοσμένες επιλογές μας, επομένως τυπικά έχουμε δώσει την απάντηση. Δεν μας καλύπτει όμως κάτι τέτοιο. Αν προσποιηθούμε ότι

• το πρόβλημα είναι σημαντικό,
• μας νοιάζει να το λύσουμε ολοκληρωτικά
• η επιβίωση του είδους εξαρτάται από αυτό,

θα πρέπει να συνεχίσουμε την αναζήτηση. Γιατί μένει ένα ακόμη ερώτημα να διερευνήσουμε.

Είναι η λύση αυτή μοναδική;

Μήπως θα μπορούσε να υπάρχει και μια ακόμη διάταξη που να μπορούσε να χωρίσει το αρχικό τετράγωνο έτσι, ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες του προβλήματος; Πιθανόν να υπάρχουν κι άλλοι διαχωρισμοί του αρχικού τετραγώνου με διαφορετικούς τρόπους:

Οι πρώτες διερευνήσεις δείχνουν εύκολα ότι οι συνθήκες του προβλήματος δεν ικανοποιούνται. Για παράδειγμα κανένα από τα παραπάνω σχήματα δεν μπορεί να δώσει 35 τετράγωνα εμβαδού ίσου με 1.

Η δεύτερη διερεύνηση δείχνει ότι οι πιθανές διατάξεις του “μεγάλου” τετραγώνου (εμβαδού λ) στο εσωτερικό του αρχικού τετραγώνου είναι εκατοντάδες (οι περισσότερες βέβαια αποδεικνύονται ισοδύναμες μεταξύ τους, αλλά αυτό δεν το λέω). Δεν θα φτάσουμε μακριά με αυτό το τρόπο σκέψης, η καθ΄ αυτό το τρόπο διερεύνηση είναι κοπιαστική.

Η λύση δεν μπορεί να είναι γεωμετρική. Απαιτείται διαφορετική προσέγγιση.

Χρειαζόμαστε κανονικά μαθηματικά.

Al-jabr

Πως μπορείς να μαθηματικοποιήσεις ένα νοητικό, γεωμετρικό, οπτικό στην ουσία του πρόβλημα; Το Είδος έκανε κάποια βήματα για να διαφοροποιηθεί από τους κοντινότερους συγγενής του και να φτάσει να αναλογίζεται τέτοια θέματα. Το πρώτο από αυτά τα βήματα για παράδειγμα, ήταν να κατέβει από τα δέντρα.

Το δεύτερο βήμα ήταν να εφαρμόσει και να εξελίξει τη τεχνολογία του κλαδιού: βλέπει μια μπανάνα σε ένα ψηλό δέντρο; παίρνει ένα κλαδί και χτυπάει τη μπανάνα. Κατ΄ εξέλιξη βάλει σε αυτή μια πέτρα, μετά με ένα τόξο κι έπειτα φτιάχνει ένα διαστημόπλοιο για ακόμη πιο μακριά – τα βήματα είναι απλά.

Τίποτε από αυτά όμως δεν θα ήταν εφικτό αν δεν πραγματοποιούσε το τρίτο του βήμα. Να μπορέσει να μετατρέψει τη σκέψη του σε λόγο. Κι επειδή εμείς θέλουμε να ισχυριζόμαστε ότι είμαστε εξελικτικά διαφοροποιημένοι από τους κοντινούς συγγενείς, θα κάνουμε επ΄ ακριβώς το ίδιο για να λύσουμε το πρόβλημά μας. Απλά, θα χρειαστούμε τη κατάλληλη γλώσσα για να μετατρέψουμε σε λόγο τη σκέψη μας η οποία δεν θα είναι άλλη, από – έκπληξη! – τη μαθηματική.

Οι εξισώσεις

Τα μικρά τετράγωνα έχουν εμβαδόν ίσο με ένα, άρα πλευρά ίση με 1. Το μεγάλο τετράγωνο έχει εμβαδόν λ κι αν x η πλευρά του, έχουμε x²=λ. Ενώ αν y η πλευρά του αρχικού τετραγώνου, το άθροισμα των εμβαδών των 35 μικρών και του ενός μεγάλου τετραγώνου, θα μας δώσει το εμβαδόν του αρχικού.

(Αν κατά τύχη βρίσκεστε εδώ χωρίς να είστε μαθηματικοί, κάντε μια δεύτερη ανάγνωση στη παραπάνω παράγραφο – θα δείτε ότι βγάζει πιο εύκολα νόημα απ΄ ό,τι ίσως της φαίνεται)

Έχουμε λοιπόν τη σχέση

35 + λ = y²      ή     35 + x² = y² ⇔ y² – x² =35.          (1)

Αυτή είναι μια εξίσωση με δύο αγνώστους, για την οποία ακόμη και ο της θεωρητικής “ξέρει” ότι δεν λύνεται. Ή, αν θέλαμε να τον διορθώσουμε (που δεν θέλουμε) θα λέγαμε ότι έχει άπειρες λύσεις. Για να φτάσουμε σε κάτι πιο συγκεκριμένο χρειαζόμαστε και μια δεύτερη εξίσωση, και από τη τελευταία πρόταση μόλις μας ήρθε μια ιδέα.

Το πρόβλημά μας μπορεί να έχει μια λύση, μπορεί να έχει και περισσότερες. Όσες κι αν είναι αυτές, θα είναι λύσεις και της παραπάνω εξίσωσης. Το κοινό που θα έχουν οι λύσεις αυτές είναι πως θα είναι θετικές ακέραιες, όπως θετικός ακέραιος είναι και ο αριθμός των μικρών τετραγώνων που θα βρίσκονται στη κάθε πλευρά του αρχικού τετραγώνου.

Η σκέψη αυτή μας δίνει την ισότητα

y – x = ν          (2)

όπου το ν είναι ένας ακέραιος αριθμός, και μόλις φτιάξαμε δύο εξισώσεις με τρεις αγνώστους, μπράβο μας.

Παραδόξως, αυτές οι εξισώσεις μπορούν να λυθούν.

Let’s do the math

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει άμεσα ότι

ν(y + x)=35           ή           y + x = 35/ν

και ο συλλογισμός που λύνει τελικά το πρόβλημα είναι ο ακόλουθος.

Οι αριθμοί x και y από τον ορισμό τους είναι φυσικοί, άρα και ο 35/ν θα πρέπει να είναι φυσικός. Ο μόνος τρόπος για να συμβεί κάτι τέτοιο είναι το ν να διαιρεί το 35, ενώ οι τιμές του ν που το επιτυγχάνουν είναι οι

ν=1,
ν=5,
ν=7,
ν=35.

Πως συνεχίζουμε; Για καθεμία από τις παραπάνω τιμές ν λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2). Κι επειδή ξέρω ότι επιθυμείτε διακαώς να το λύσετε μόνοι δεν θα το λύσω εδώ, θα δώσω όμως τα αποτελέσματα.

• Για ν=1 παίρνουμε y=18, x=17. Αφού y είναι η πλευρά του αρχικού τετραγώνου, από εδώ παίρνουμε την απάντηση που δώσαμε και γεωμετρικά, δηλ. ότι το εμβαδόν είναι ίσο με 18²=324.
• Για ν=5: Προκύπτει y=6, x=1, το οποίο όμως απορρίπτεται: x είναι η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου (εμβαδού λ), που το πρόβλημα τονίζει ότι δεν είναι ίση με 1.
• Για ν=7. Η λύση των εξισώσεων δίνει πως το μεγάλο τετράγωνο θα έχει πλευρά ίση με -1, κάτι που δεν μας αρέσει και το απορρίπτουμε. Και τέλος
• Για ν=35 η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου γίνεται -17, η οποία απορρίπτεται και πάλι.

Και ναι, τα καταφέραμε. Η λογική, γεωμετρική διερεύνηση έδωσε μια λύση στο πρόβλημα. Τα μαθηματικά όμως έδωσαν την οριστική, τελεσίδικη και αμετάκλητη απάντηση. Η λύση αυτή, είναι τελικά μοναδική.

Μόλις γλυτώσαμε το είδος μας από την εξαφάνιση. Κυρίες και κύριοι, μαθηματικά. Σώζουν ζωές.

Υ.Γ. Το πρόβλημα όπως πληροφορήθηκα είναι παλιό, κάποιες άλλες λοιπόν λύσεις του ίσως να έχουν ήδη δημοσιευτεί. Αν κάποιος έχει κάποια υπ΄ όψιν του ή αν έχει εντοπίσει κάποιο λάθος στη παραπάνω λύση ας την αναφέρει στα σχόλια. Επιφυλάσσομαι αν χρειαστεί να κάνω ανανέωση του άρθρου με τη παρουσίαση κάποιας επιπλέον, κομψότερης λύσης.